Co to jest prawo Gaussa: wzór i jego wyprowadzenie

Badanie ładunku elektrycznego i strumienia elektrycznego wraz z powierzchnią to prawo Gaussa. Jest to jedno z podstawowych praw elektromagnetyzmu, które ma zastosowanie do każdego rodzaju zamkniętej powierzchni znanej jako powierzchnia Gaussa. Prawo to zostało wyjaśnione i opublikowane przez niemieckiego matematyka i prawo fizyczne Karla Friedricha Gaussa w roku 1867. Opisuje ono związek między natężeniem pola elektrycznego powierzchni a całkowitym ładunkiem elektrycznym zamkniętym przez tę powierzchnię. Ten artykuł zawiera omówienie prawa Gaussa w dielektrykach i magnetostatyce za pomocą wyrażenia matematycznego. Czym jest prawo Gaussa? Prawo Gaussa jest jednym z równań elektromagnetyzmu Maxwella i określa, że ​​całkowity strumień elektryczny na zamkniętej powierzchni jest równy zmianie zamkniętej podzielonej przez przenikalność elektryczna. Zgodnie z tym prawem, całkowity strumień związany z zamkniętą powierzchnią jest 1/E0 razy większy niż zmiana zamknięta przez zamkniętą powierzchnię. Strumień elektryczny w obszarze oznacza iloczyn pola elektrycznego i pola powierzchni rzutowanej w płaszczyźnie i prostopadle do pola. Formuła prawa Gaussa Zgodnie z tym prawem, całkowity ładunek zamknięty w zamkniętej powierzchni jest proporcjonalny do całkowitego strumienia zamkniętego przez powierzchnię. Zastanówmy się, czy Φ jest całkowitym strumieniem, a E0 jest stałą elektryczną, to Całkowity ładunek elektryczny Q zamknięty przez zamkniętą powierzchnię może być wyrażony w następujący sposóbQ= ΦE0Dlatego wzór prawa Gaussa może być wyrażony jak poniżej ΦE= Q/E0Gdzie, Q= Całkowity ładunek na danej powierzchni, E0 jest stałą elektryczną. Ta koncepcja jest prosta i można ją bardzo łatwo zrozumieć, biorąc pod uwagę wykres prawa Gaussa pokazany na poniższym rysunku. Całkowity strumień elektryczny przez zamkniętą powierzchnię zależy od ładunków na zamkniętej powierzchni, a ładunki na zewnątrz powierzchni nie zawierają żadnego strumienia. Kształt powierzchni rozważany jest arbitralnie. Ponieważ całkowity strumień elektryczny jest niezależny od umiejscowienia ładunków wewnątrz zamkniętej powierzchni. Ta urojona powierzchnia nazywana jest powierzchnią Gaussa, która zależy od konfiguracji ładunków i rodzaju symetrii występującej w konfiguracji ładunków. Wybierane są głównie powierzchnie cylindryczne i płaskieDiagram prawa Gaussa Jednostka prawa Gaussa Jednostka SI Jednostka prawa Gaussa SI jest podana poniżej. Jeżeli pole elektryczne jest stałe, strumień elektryczny przechodzący przez powierzchnię wektora S wynosi E = E .S = ES Cos ө strumień elektryczny przez małą powierzchnię dS jest podany przez d ΦE = E. dSWgdzie E = Pole elektryczne dS = pole różniczkowe na zamkniętej powierzchni Strumień elektryczny ma jednostki SI woltomierzy (Vm)Pole elektryczne jest obszarem przestrzeni wokół naładowanej cząstki lub pomiędzy dwa napięcia; wywiera siłę na naładowane obiekty znajdujące się w jego sąsiedztwie. Wyrażenie matematyczne prawa Gaussa Zgodnie z prawem Gaussa całkowity strumień w zamkniętej powierzchni jest 1/E0 razy większy od ładunku ograniczonego przez zamkniętą powierzchnię. ds = (1/ E0) qNa przykład ładunek punktowy q jest umieszczony na krawędzi sześcianu. Następnie, zgodnie z prawem Gaussa, strumień generowany przez każdą powierzchnię sześcianu wynosi q/6 E0 Zgodnie z tym prawem, całkowity ładunek zamknięty w zamkniętej powierzchni jest proporcjonalny do całkowitego strumienia zamkniętego przez powierzchnię. Zastanów się, czy Φ jest sumą strumień i E0 jest stałą elektryczną, to całkowity ładunek elektryczny Q zamknięty przez zamkniętą powierzchnię można wyrazić w następujący sposóbQ= Φ E0Dlatego wzór prawa Gaussa można wyrazić następującoΦE= Q/E0Gdzie Q= Całkowity ładunek na danej powierzchni, E0 jest stałą elektrycznąWyprowadzenieWyprowadzenie prawa Gaussa podano poniżej.Wyprowadzenie prawa Gaussa za pomocą prawa Coulomba, PRZYPADEK 1: Powierzchnia sferyczna obejmująca ładunek jednopunktowyZałóżmy, że mamy pojedynczy ładunek punktowy stacjonarny o wartości EE= q/4ΠE0r2ΦE = ∮E. dA= ∮ q/4ΠE0r2. dA= q/4ΠE0r2§ dA= qA/4ΠE0r2= q4Πr2/4ΠE0r2= q/E0ΦE = ∮ E. dA = q/E0 PRZYPADEK 2: Nieregularna powierzchnia otaczająca ten sam punkt ładowania Niech ten sam typ linii pola przechodzi przez powierzchnię A1 i A2ΦE = ∮A1 E. dA = ∮A2 E. dA = q/E0∮ E. dA = q/E0 Prawo Gaussa w dielektrykach Rozważ równoległy kondensator płytowy o równej powierzchni A i gęstości ładunku σ, a pomiędzy płytami będzie próżnia. Poniższy diagram wyjaśnia to prawo w dielektrykach między dwiema równoległymi płytkami. Następnie możemy obliczyć wektor pola E0 w obszarze między płytkami za pomocą prawa Gaussa.Prawo Gaussa w dielektrykach Rozważmy powierzchnię Gaussa o kształcie prostopadłościanu i jednej ścianie Gaussa, strumień nie przejdzie przez nią, a następnie strumień nie przejdzie przez ścianę prostopadłą do tej ściany. Dlatego strumień będzie przechodził tylko przez ścianę, która jest równoległa do płyty dodatniej. Rozważmy stałą E0 powierzchni Gaussa, a ө jest kątem między wektorem pola a wektorem pola ∯S E0. dα = q/E0∯S E0 dα cosө = q/E0∯S E0 dα = q/E0E0∯S dα = q/E0E0A = q/E0E0 = q/E0ATutaj q= A σE0 = A σ /E0AE0= σ/E0Gauss Prawo magnetostatykiTo prawo magnetyzmu dotyczy strumienia magnetycznego przez zamkniętą powierzchnię. W tym przypadku wektor powierzchni wskazuje z powierzchni. Ponieważ linie pola magnetycznego są ciągłymi pętlami, wszystkie zamknięte powierzchnie mają tyle linii pola magnetycznego wchodzących, co wychodzących. W związku z tym strumień magnetyczny netto przez zamkniętą powierzchnię wynosi zero. Strumień netto = ʃ B. dA = 0Dlatego suma netto wszystkich prądów w zamkniętej powierzchni jest zerowa. Prawo Gaussa dla ładunków było bardzo przydatną metodą obliczania pól elektrycznych w sytuacjach wysoce symetrycznych. Prawo Gaussa dla magnetostatyki jest używane bardzo rzadko. Znaczenie Ta sekcja pozwoli ci jasno wyjaśnić znaczenie prawa Gaussa. Stwierdzenie prawa Gaussa jest poprawne i odpowiednie dla każdej zamkniętej powierzchni niezależnie od wielkości lub kształtu konkretnego obiektu. Termin Q we wzorze prawa Gaussa oznacza sumę wszystkich ładunków, które są całkowicie zamknięte w obiekcie, niezależnie od położenia ładunek na powierzchni. Na niektórych wybranych powierzchniach występują zarówno wewnętrzne, jak i zewnętrzne ładunki pola elektrycznego. Wybrana powierzchnia dla funkcjonalności prawa Gaussa jest określana jako powierzchnia Gaussa, ale ta powierzchnia nie powinna być przepuszczana przez żaden rodzaj izolowanych ładunków. Jest to wykorzystywane głównie do uproszczonej analizy pola elektrostatycznego w scenariuszu, w którym układ utrzymuje pewną równowagę . Stanie się tak tylko wtedy, gdy wybierzemy dokładną powierzchnię Gaussa.Przykłady1). Zamknięta powierzchnia Gaussa w przestrzeni 3D, w której mierzony jest strumień elektryczny. Pod warunkiem, że powierzchnia Gaussa jest kulista, otoczona 40 elektronami i ma promień 0.6 metra.Oblicz strumień elektryczny przechodzący przez powierzchnię.Znajdź strumień elektryczny mający odległość 0.6 metra od pola mierzonego od środka powierzchni.Wiedz związek, który istnieje między ładunkiem zamkniętym a strumieniem elektrycznym.Odpowiedź Ze wzoru na strumień elektryczny można obliczyć ładunek netto zamknięty w powierzchni. Można to osiągnąć poprzez zwielokrotnienie ładunku elektronu z całymi elektronami, które pojawiają się na powierzchni. Korzystając z tego, można poznać przenikalność elektryczną w wolnej przestrzeni i strumień elektryczny.Ф = Q/є0 = [40(1.60 * 10-19)/8.85 * 10-12]= 7.42 * 10-12 Newton*metr/KulombOdpowiedź Zmiana układu równania strumienia elektrycznego i wyraŜając pole jako promień, moŜna obliczyć pole elektryczne.Ф = EA = 7.42 * 10-12 Newton*metr/KulombE = (7.42 * 10–)/A= (7.42 * 10–)/ 4∏(0.6)2Ponieważ strumień elektryczny ma bezpośrednią proporcję do zamkniętego ładunku elektrycznego, oznacza to, Ŝe gdy ładunek elektryczny na powierzchni wzrasta, wówczas strumień, który przez niego przechodzi, ulegnie równieŜ wzmocnieniu. Zalety Zaletą prawa Gaussa są: W porównaniu z prawem Coulomba, zapewnia określony kierunek siły z odpowiednią dokładnością we właściwych przypadkach ogólnych. Twierdzenie Gaussa jest bardziej wydajne we wszystkich zamkniętych obiektach i powierzchniach w celu znalezienia pola elektrycznego, a także będzie skutecznie działać w procesie dystrybucji w porównaniu z prawem Coulomba.WadyWady prawa Gaussa są jak f ollowsOgraniczeniem prawa Gaussa jest to, że oblicza ono pole elektryczne tylko w niektórych szczególnych przypadkach. Nie możemy używać prawa Gaussa do obliczania pola ze względu na dipol elektryczny.Zastosowania Poniżej przedstawiono ważne zastosowania prawa Gaussa Jest to najbardziej przydatne do rozwiązywania złożonych problemów elektrostatycznych obejmujących unikalne symetrie, takie jak symetria cylindryczna, sferyczna lub planarna.Może to być bardzo przydatne do obliczenia natężenia pola spowodowanego nieskończenie długimi, jednorodnie naładowanymi przewodami. Jeżeli rozkład ładunku nie ma symetrii zastosowania, w tych przypadkach możemy wykorzystać to prawo do obliczenia pól ładunków punktowych poszczególnych elementów ładunku, które są obecne w obiekcie. uprościć ocenę pola elektrycznego w prosty i łatwy sposób.W niektórych złożonych sytuacjach, w których obliczenie pola elektrycznego jest skomplikowane, wtedy to prawo jest używane w postaci integralnej.W ten sposób chodzi o przegląd prawa Gaussa – definicja , wzór, jednostka SI, wyrażenie matematyczne, wyprowadzenie, diagram, w dielektrykach, w magnetostatyce, znaczenie, przykłady z rozwiązaniami, zaleta s, wady i ich zastosowania.

Zostaw wiadomość 

Lista komunikatów